[ 미분 ] 7. 도함수 : 곱법칙과 몫법칙, 그리고 연쇄법칙

곱법칙

함수(구함수) f와 g가 모두 미분 가능일 때, 함수들을 곱하거나 나누어 얻어지는 새로운 함수의 도함수 역시 구할 수 있다.

먼저, 곱법칙(product rule)은 두 구함수를 곱하여 얻은 새로운 함수의 도함수를 구하는 방법이다.

 

곱법칙

- 두 함수의 곱의 도함수는 앞의 함수에 뒤의 함수의 도함수를 곱한 값에, 뒤의 함수에 앞의 함수의 도함수를 곱한 값 둘을 더한 것과 같다.

 

몫법칙

한편, 몫법칙(quotient rule)은 두 함수를 나누어 얻은 새로운 함수의 도함수를 구하는 방법이다.

 

몫법칙

 

연쇄법칙

연쇄법칙은 합성함수(composition of two functions)를 미분하는 방법이다.

만

와 같은 함수를 미분할 경우, 지금까지 배운 미분 공식으로는 이를 풀 수 없을 것이다.

이때, y=f(u)=5√u, u=g(x)=x³+1로 두면, y=F(x)=f(u)=f(g(x))로 고쳐 쓸 수 있다.

연쇄법칙(chain rule)

라이프니츠 기호로 chain rule을 쓰면 다음과 같다:

dy/dx = (dy/du)(du/dx)

 

-y는 u의 함수이고, u는 x의 함수이다.

-연쇄법칙은 다음과 같은 풀이 전략을 갖는다.

 

[1] 합성함수가 h(x) = f(g(x)) 꼴 일 경우, f(x)와 g(x)를 먼저 규명(identifying)한다.

[2] f'(x)를 구한다.

[3] f'(g(x))를 구한다.

[4] g'(x)를 구한다.

[5] h'(x)은 f'(g(x))g'(x)이다.