적분

[ 적분 ] 10. 적분표

기본적분표 피적분함수의 가장 간단한 형태에 대한 적분 중 특히 부정적분표는 매우 중요하며, 복잡한 형태의 적분의 원활한 풀이를 위해 암기를 요구하기도 한다. 부정적분표를 기본으로 적분의 일반성질 중 아래의 5가지 성질을 특히 주목하도록 한다. 적분의 풀이 부정적분표와 적분의 5가지 일반성질을 기초로 적분은 다음과 같은 풀이과정을 갖는다. [1] 간단한 피적분함수의 유도한다. [2] 치환대상을 찾는다. 피적분함수 내에서 u=g(x)로 치환했을 때, 그것의 미분 du=g'(x)dx가 피적분함수의 인수로 곱해진 함수 g(x)를 찾는 것이 좋다. - 적분전략 중 치환적분법을 사용할 수 있다. [3] 피적분함수의 치환에 실패할 경우, 피적분함수를 형태에 따라 다음과 같이 분류한다. 1. 삼각함수형: 피적분함수 f..

[ 적분 ] 8. 적분법 : 삼각치환적분

변수를 직접 적분하기 어려운 경우, 삼각함수의 성질을 활용하여 변수를 삼각함수로 치환하여 적분(삼각치환적분, integration by trigonometric substitution, ITS)할 수 있다. 예를 들어 원이나 타원의 넓이를 구하기 위해선 ∫(√a^2-x^2)dx (단, a>0이다.)와 같은 형태의 적분을 풀어야 한다. 상술한 적분은 ∫ x(√a^2-x^2)dx와는 달리 치환이 어려운 적분으로, 만약 x=a sinθ로 치환하여 변수를 θ로 둔다면, 1-sin^2θ=cos^2θ를 써 근호를 제거할 수 있다. 일반적인 치환법칙과 구분하여, x=a sinθ는 다음과 같은 차이점을 갖는다. 1. 역치환(inverse substitution) 2. 역치환한 함수가 일대일이면 역치환이 가능하므로, 세..

[ 적분 ] 2. 적분 : 정적분

곡선함수의 넓이를 구할 때, 직사각형의 넓이를 설정하는 방법으로 2가지 근사와 함께 표본점을 이용한 극한값까지 확인했다. 특히 표본점의 근사식은 곡선의 길이, 입체의 부피, 질중심, 압력에 의한 힘(force) 등 다양한 물리량을 구하는 문제 등에 활용된다. 그러므로 이러한 형태의 극한은 특별한 이름과 기호를 붙일 수 있다. 정적분 만일 f가 a≤x≤b에서 정의된 연속함수라면, 구간 [a, b]를 동일한 폭 ∆x = b-a/n인 n개의 부분 구간들로 나눌 수 있다. x_0=a, x_1, x_1,..., x_n=b까지를 부분구간들의 끝점으로 두고 x_1*, x_2*,..., x_n*을 임의의 표본점이라 하면, x_i*는 i번째의 부분구간 [x_i-1, x_i]에 놓이게 된다. 그러면 a에서 b까지의 정적분..

[ 적분 ] 1. 적분 : 입문

적분의 기원 적분의 기원은 고대 그리스 시대의 수학자 아르키메데스가 곡선을 가진 도형의 면적과 부피를 구함에 있어 오늘날의 적분과 유사한 방법을 사용한 데서 출발한다. 이후 1622년 이탈리아의 수학자 카발리에리가 무한의 개념을 도입해, 곡선으로 둘러싼 도형의 면적은 매우 폭이 좁은 직사각형들의 면적의 합이라는 주장을 한다. 곡선 함수의 넓이를 구할 때, 직사각형의 넓이를 설정하는 두 가지 근사를 살펴보았다. (1) 오른쪽 근사 (2) 왼쪽 근사 근사의 아이디어를 이제 일반적인 영역 S에 적용시켜보자. [1] 넓이 S를 동일한 폭을 갖는 n개의 직사각형으로 나눈다. [2] 구간 [a,b]의 폭의 값은 b - a이다. → n개의 각 직사각형의 폭은, ∆x = b-a/n 이다. [3] 직사각형은 구간 [a,..