[ 미분 ] 9. 도함수 : 지수함수와 로그함수의 도함수

지수함수(exponential function) : 거듭제곱의 지수를 변수로, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수

로그함수(logarithm, 대수함수) : 지수함수의 역함수로, 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑(base)을 몇 번 곱해야 하는지 나타내는 함수

 

- 로그함수의 지수함수적 정의 : a>0, a≠1이고, y>0일 때, x,y 사이에 y=a^x라는 관계가 있을 때, 'x는 a를 밑으로 하는 y의 로그(대수)'라고 하고

로 표기한다.

-a≠1인 이유는 1의 거듭제곱이 모두 1이기 때문에, 지수에 어떤 값이 오더라도 1이 되어 무의미하기 때문이다.

-x 값의 범위는 모든 실수이다. → 실수는 로그를 통해 나타낼 수 있다.

 

지수와 로그의 기본 성질

지수의 기본성질

e의 정의는 다음과 같다.

도함수의 정의를 이용해 f(x)=a^x의 도함수를 구해보자.

증명 과정에서, 지수함수의 변화율 f'(x)는 함수 자신(a^x)에 비례함을 알 수 있다.

밑 a가 취할 수 있는 선택 가능한 값들 중 가장 간단한 미분식은 f'(0) = 1일 때다. a가 2,3인 경우에 대해 f'(0)을 각각 구했으므로, f'(0) = 1을 만족하는 수 a는 2와 3사이에 위치함을 유추할 수 있다.

 

더 연산하면 e는 약 2.71828...로 계산된다.

-기하학적으로 f(x)=e^x는 (0,1)에서 접선의 기울기 f'(0)=1인 함수이다.

 

대수의 기본성

지수의 성질에서 소개한 '자연상수' e와 같이 대수에도 '자연대수(자연로그)'가 있다.

 

자연로그(natural log)

-밑 a가 e로 변한 것으로 자연로그는 "e를 밑으로 한 x의 대수"로 정의한다.

 

지수함수 미분

지수함수의 도함수는 크게 3가지로 설명할 수 있다.

1. 자연지수함수의 도함수

2. 밑이 a>0인 지수함수의 도함수

밑이 a>0인 지수함수의 도함수는 연쇄법칙을 활용해 유도한 결과이다.

 

로그함수 미분

로그함수의 도함수는 밑의 종류에 따라 결과를 구분할 수 있다.

 

밑이 a인 로그함수의 도함수

밑이 e인 로그함수의 도함수