[ 미분 ] 3. 함수의 연속성

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만약, 

식 3.1

이면, 함수는 f는 x=a에서 연속(continuous)한다.

함수의 연속은 3 가지 조건을 포함한다.

 

(1) a는 f의 정의역에 속한다.

(2) x→a의 극한이 존재한다.

(3) $$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = f(a)$$

 

함수 f는 임의의 점 x=a에서 연속이다. 이것의 필요충분식은 식 3.1을 따르며, 즉 x=a에 f의 극한은 존재하며 그 값은 f(a)가 된다.

 

자연의 많은 현상은 연속적이며, 연속함수로 해석할 수 있다. 예를 들어 물체의 움직임이나 개체 수의 변화는 시간에 따라 연속적으로 변한다.

-연속적인 점에서 함수 값은 극한 값과 일치한다.

 

example 3.1 함수의 불연속성

다음 함수 f의 그래프를 보고, a,b 그리고 c 지점의 연속성에 대해 설명하시오.

 

Solution

[1] x=a에서 f(a)가 정의되지 않는다 => 불연속

[2] x=b에서 f(a)는 색칠된 점으로 정의한다. 그러나 $$\displaystyle \lim_{x \to b}f(x)$$ 는 정의되지 않는다. 좌극한과 우극한이 서로 다르기 때문이다.

 

(1) 좌극한 : 검은 점

(2) 우극한 : 흰 점 

 

=> 따라서 불연속

 

[3] x=c에서 좌극한과 우극한은 서로 같다. (흰 점) 그러나 f(c)는 검은 점으로 함수의 연속 정의의 세번째 조건을 만족하지 못한다. => 불연속

위 세가지 그래프는 모두 discontinuous functions을 보여준다.

 

(1) f(a)가 정의되지 않았다

(2) f(a)는 검은 점으로 정의되었다. 그러나 좌극한과 우극한이 달라 limf(x)가 존재하지 않는다.

(3) f(a)는 검은 점이고, limf(x)는 흰 점이다. 

 

$$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) \neq  f(a)$$

 

연속하는 함수는 다음과 같다.

 

1.다항식(polynomials)

2.유리함수(rational function)

3.제곱근 함수

4.삼각 함수

5. 역삼각함수

6.지수-로그 함수

 

미적분학에서 대표적인 불연속한 함수는 크게 3가지이며, 그래프는 다음과 같다.