[ 미분 ] 2. 함수의 극한

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극한

미분을 공부함에 있어 극한(limit)의 개념은 매우 중요하다.

예를 들어, 다음과 같은 극한 식이 있다고 하자.

식 2.1

주어식 식 2.1은 다음과 같이 정의한다.

 

-극한(limit)

a와 같진 않으나, a에 충분히 가까운 x 값을 잡으면 L에 얼마든지 가까운 f(x) 값을 얻을 수 있는데, 'x가 a에 접근할 때, f(x)의 극한을 L'이라고 한다.

 

※엄밀한 극한의 정의는 【엡실론-델타 논법】 에서 다루어진다.

 

좌극한과 우극한

좌극한(limit from the left, left-hand limit) : a보다 작으면서 a에 충분히 가깝도록 x를 설정하면, f(x)의 값이 L에 가까워지는데, 이 때 x→a인 경우, f(x)의 좌극한은 L이라 한다.

 

우극한(limit from the right, right-hand limit) : a보다 크면서 a에 충분히 가깝도록 x를 설정하면, f(x)의 값이 L에 가까워지는데, 이 때 x→a인 경우, f(x)의 우극한은 L이라 한다.

좌극한과 우극한의 방향성에 주목하자.

좌극한과 우극한은 c를 향한다는 공통점 때문에 일방향 극한(one-sided limit)으로 묶어 부르며, 좌극한은 그래프의 '왼쪽'에서 출발하여 오른 방향으로 움직이며, 우극한은 '오른쪽'에서 출발하여 왼 방향으로 움직인다.

 

일방향성 극한을 정의했고, 이 둘을 이용하면 극한의 필요충분조건을 정의할 수 있다.

 

극한의 필요충분조건

EXAMPLE 2.1 Heaviside 함수

영국의 전기공학자 헤비사이드가 고안한 헤비사이드 함수는 전기 스위치를 켤 때, 전류의 흐름을 나타낸다. t=에서 스위치를 켤 때 전류는 거의 즉각적으로 도선을 타고 흐르는데, 이 때 그래프는 아래와 같다.

헤비사이드 함수 도식을 통해 좌극한과 우극한을 각각 구하시오.

 

SOLUTION.

헤비사이드 함수 도식에서 극한의 필요충분조건은 일방향의 극한 값들이 서로 일치하지 않으므로, 존재하지 않는다.

 

좌극한과 우극한이 같은 점에 있을 때, 함수의 극한 값이 존재한다고 한다.

- 임의의 x→a에서 좌극한의 값과 우극한의 값이 서로 같다면, 함수의 양방향 극한(2 sided-limit)이 존재한다.