[ 미분 ] 4. 점에서의 변화율

구간축소법 ( Shrinking Interval Method, SIM )

- 증분(increment) : 극히 작은 변화량으로 x축을 기준으로 δx로 표기한다. 어떠한 값의 변화. 기호로 delta(Δ,δ)를 사용한다.

- 어떤 점 x에 증분을 더한 값을 x + δx로 x와 x + δx 사이의 간격을 구간(interval)이라 한다.

 

만약 x=3에서 y=3x^2 + 1의 변화율을 구한다고 하자.

[1] x=3에서 y=3(3)^2 + 1 = 28이다.

[2] x=3+δx에서 y는 다음과 같다.

[3] 그러므로, y의 평균 변화율(x의 증분에 대한 y의 증분의 비율)을 다음과 같이 계산할 수 있다. (기울기)

평균 변화율을 순간 변화율로 고치기 위해 구간을 점으로 축소시킨다.

구간의 증분 값 δx를 0으로 근사시키면, 구간이 점에 가까워진다.

 

y 미분(derivative)

xy 그래프에서 y의 변화율을 y의 미분이라고 부르며, 증분 δx를 0으로 근사시킨 함수 그래프의 어떤 구간은 점으로 축소된다.

-dy/dx는 /dee y (by) dee x/로 읽는다.

-x는 독립변수, y는 종속변수이다.

-dy/dx는 간단하게 y'(prime)으로 표기하기도 한다.

 

미분(differentiation)은 쉽게 말해 y에서 y'을 찾는 절차이다.

 

접선

SIM을 응용해, 접선의 정의를 유도할 수 있다.

[1] 할선의 기울기는 다음과 같다.

-두 점 P,Q를 잇는 할선의 기울기

-접선을 구하기 위해서는 점 Q가 곡선인 함수 f의 경로를 따라 P에 접근하도록 해야 한다.

 

[2] 점 Q를 점 P에 접근하도록 하되, x≠a이다.

 

접선의 정의

접선이란, 점 Q가 함수의 경로 f를 따라 P에 접근할 때 할선 PQ의 극한에서의 위치이다.

접선의 정의에서 x를 a+h로 둘 수 있다.

같은 그래프임에도 이번에는 두 점을 a와 x 대신, a와 h(증분과 같은 개념)라는 새로운 수로 표현했다.

h=x-a → 구간축소법에서 소개한 increment와 같다.

 

접선의 정의와 h의 정의를 접목하면 접선의 일반식을 유도할 수 있다.

 

접선의 일반식

a에서의 함수 f의 극한을 미분계수라 하고 f'(a)라고 표시한다.

h→0의 필요충본조건은 x→a이다.

 

구간축소법을 사용하여 y(x)의 미분값을 찾는 방법을 1차 원리에 의한 미분(differentiation from first principles)라고 한다.

 

example 4.1 미분계수

다음의 미분계수를 구하시오.

solution

(1) 6x-4

(2) 7/(t+3)^2

(3)