[ 적분 ] 9. 적분법 : 부분분수적분 - 부분분수분해

부분분수 적분은 피적분함수가 유리함수(분자와 분모가 다항식으로 이루어진 함수)꼴인 함수를 쉽게 적분하는 전략이다.

위 식의 피적분함수는 유리함수이고, 이 유리함수는 인수분해를 통해 간단한 분수의 합으로 나타낼 수 있다.

위 식을 연산하면 피적분함수를 다시 구할 수 있고, 이 과정의 역이 즉 부분분수분해(Partial Fraction Decomposition)이다.

분수의 구분

유리함수는 일반적으로 다음과 같이 표현한다.

여기서 P와 Q는 다항식으로 P의 차수(degree)가 Q의 차수보다 작을 때, f는 더 간단한 분수의 합으로 표현된다.

-진유리함수(proper rational fraction) ; P(x)의 차수가 Q(x)의 차수보다 작은 유리함수

 

a_n ≠ 0일 때 다항식,

에 대해 P의 차수를 n이라 하고, deg(P)=n으로 나타낸다.

 

(1) 진(proper)분수 : 분모의 차수가 분자의 차수보다 큰 분수, deg(P) < deg(Q)

(2) 가(improper)분수 : 분수의 차수가 분모의 차수보다 크거나 같은 분수, deg(P) ≥deg(Q)

 

improper fraction의 경우, deg(R)<deg(Q)인 나머지 R(x)가 얻어질 때까지 P를 Q로 나누는 다항식의 나눗셈을 수행해야 한다. 나눗셈의 몫을 S(x)라 하면 연산의 수행 후 가분수는,

와 같은 형태로 나온다.

-S(x) : 몫

-R(x) : 나머지

 

제시된 다항식 나눗셈(P÷Q)에서 몫과 나머지는 다음과 같다.
-S(x) = x-1
-R(x) = -x+2
-Q(x)= x^2+2x-2

다항식의 나눗셈을 마친 후, 분모인 Q(x)를 가능한 만큼 인수분해 하도록 한다. 임의의 다항식 Q(x)는 일차인자 (ax+b)나 기약 이차인자 (ax^2+bx+c, b^2-4ac<0)의 곱으로 인수분해된다.

부분분수분해

부분분수의 분해는 분모의 형태에 따라 크게 5가지 풀이법을 갖는다.

부분분수분해를 통해 유리함수의 더 쉬운 적분이 가능해진다.