[ 적분 ] 6. 적분법 : 부분적분

미분법의 곱법칙(product rule)에 대응되는 부분적분법(integration by parts, IBP)을 알아보자.

 

※ The IBP

[1] Suppose that u(x) and v(x) are differentiable functions.

[2] The product rule in terms of differentials gives us:

 

d(uv) = udv + vdu

 

[3] Rearraging the rule, we can write:

udv = d(uv) - vdu

 

[4] Integrating both sides with respect to x:

∫udv=uv - ∫ vdu (integration by parts formula)

 

부정적분 부분적분

IBP에서 핵심적인 사항은 u와 dv를 적절하게 선별하는 일이다. 그리고 이런 피적분함수를 치환할 때, 경험적으로 ILATE 규약을 활용한다. ILATE란?

 

Inverse trigonometric

Logarithmic

Algebraic

Trigonometric

Exponential

 

의 첫 알파벳 글자 모음으로, 가령

와 같이 피적분함수가 합성함수일 때, ILATE에 근거해 u로 가능성 있는 함수를 선택한다면 algebraic 함수인 x가 exponential 함수인 e^2x보다 우선한다.

-IBP를 시행할 때, u와 dv는 피적분함수를 모두 포함하도록 설정한다.

 

점화 공식

부분적분을 활용해 n≥2인 정수 n에 대한 점화공식을 증명할 수 있다.

 

정적분 부분적분