[ 미분 ] 1. 미적분학 들어가기 : 접선과 넓이
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미적분학(calculus)이란?
함수로 표현할 수 있는 어떤 물리량의 변화를 분석하는 데 사용되는 수학의 한 기법
-함수(function)는 그래프로 표현될 때, 특정한 지점에서 얼마나 급격히 변화되는지를 분석하는데 사용한다.
함수
어떤 집합 X, Y에 대한 함수 f는 다음을 만족하는 대응관계로 정의한다.
- 임의의 원소(element) x∈X에 대해, 그에 대응하는 원소 y∈Y가 유일하게 존재한다.
- 집합 X는 정의역(domain), 집합 Y는 공역(codomain)이라 한다.
- 원소 x에 대응되는 원소를 x의 함수값(value of the function), 또는 상(image)이라 하고, f(x)로 표기한다.
- 치역(range): 모든 함수값을 모은 집합, f(X)로 표기한다.
물리 세계에서 어떤 양의 변화는 많은 경우, 또 다른 양의 변화와 연관이 있다. 갈릴레오 갈릴레이는 물체가 떨어지는 거리가 시간의 제곱에 비례한다는 사실을 발견했다.
접선
할선 ( secant line ) : 곡선을 한 번 이상 만나는 직선, 두 점을 잡고 지나는 선
접선 ( tangent line ) : 곡선과 접하는 직선, 접점에서 곡선과 같은 방향을 갖는다.
할선의 기울기를 구하는 식을 통해 접선의 기울기를 추론할 수 있다.
할선의 기울기를 구하는 식은 다음과 같다.
할선의 기울기는 두 개의 서로 가까운 점 P, Q를 설정해 기울기 값으로 구할 수 있다.
- P(x_P, y_P)
- Q(x_Q, y_Q)
- x_1=x_P, x_2=x_Q, y_1=y_P, y_2=y_Q
할선의 기울기를 구했다면, 이제 할선의 기울기에서 설정한 Q를 점 P에 가깝게 근사시켜보자.
접선의 기울기는 결국 점 Q가 점 P에 한없이 가까워진 값으로 특정한 한 값을 갖는다.
접선의 기울기를 구하는 식은 다음과 같다.
- Q→P: 점 Q를 점 P로 접근시켜라.
- m_PQ: 할선의 기울기
- m: 접선의 기울기
따라서 접선의 기울기란, 점 P, Q의 할선의 기울 값에서 점 Q를 점 P로 한없이 근사시킨 값으로 정의할 수 있다.
- lim 기호는 극한의 의미.
- 접선의 기울기는 접선의 변화율을 표현하며, 이는 함수의 변화율과 일치한다.
EXAMPLE 1.1 할선과 접선의 기울기
점 P(1,1)에서 점 Q(2,4)를 이은 포물선 f(x) = x ^ 2에서의 할선의 기울기를 구하시오. 그리고 점 Q를 점 P에 근사할 수록 어떤 값을 가질지 계산하시오.
Tip. 점 Q를 (1.5, 2.25)로 두었을 때 할선의 기울기도 구해본다.
미적분학의 1차적인 목표는 함수의 변화율을 기술하는 것이다. 즉 미적분학은 함수의 변화율을 '정량적으로' 기록하기 위한 도구이다.
- 점 P와 Q를 연결한 직선을 현(chord)라고 한다.
- 현의 수직방향 길이는 y_2-y_1이다.
- 현의 수평방향 길이는 x_2-x_1이다.
- 기울기(slope, gradient, steepness of a curve): 두 점 사이의 함수의 평균 변화율, 선의 경사도가 중요한 수치
기울기는 방향과 기울기 정도(경사 정도, steepness)에 따라 다음과 같이 구분된다.
(1) 양의 기울기 ( Positive gradient )
(2) 음의 기울기 ( Negative gradient )
(3) 0의 기울기: 어떤 선의 경사도가 전혀 발견되지 않을 때, 직선은 0의 기울기를 갖는다고 표현한다.
넓이
직사각형이나 삼각형의 넓이는 공식을 통해 매우 쉽게 구할 수 있다. 하지만 f(x)(그래프의 축(axis) 정의에 따라 f(x)를 y로 표현하기도 함)가 x^2의 밑면적을 구하는 것은 쉬운 문제가 아니다.
접선을 정의할 때, 우리는 접선의 기울기를 할선들의 기울기에 대한 '극한'으로 근사시켰다. 마찬가지로 곡선의 넓이를 구할 때 비슷한 아이디어를 빌린다.
곡선을 갖는 밑면적 구하기
[1] 먼저 곡선함수의 그래프 영역 S를 직사각형으로 잘게 쪼갠다.
[2] 이 직사각형을 더 잘게 쪼갤수록 S와 더 근사한 넓이를 구할 수 있다.
[3] 직사각형의 수를 늘려 '직사각형 넓이의 극한'을 구한다.
직사각형의 넓이를 설정할 때, 2가지 방법을 고를 수 있다.
(1) 오른쪽 끝점을 기준으로 영역을 직사각형의 묶음으로 쪼갠다. (왼쪽 그림)
(2) 왼쪽 끝점을 기준으로 영역을 직사각형의 묶음으로 쪼갠다. (오른쪽 그림)
(1)과 (2)는 각각 오른쪽 근사와 왼쪽 근사라 한다.
오른쪽 근사를 한 면적과 왼쪽 근사를 한 면적의 총합을 각각 R_n, L_n(여기서 n은 직사각형의 개수를 의미한다.)이라 하고, 엄밀한 넓이 값인 S와 대소 비교를 할 수 있다.
직사각형의 수를 늘릴수록 L_n와 R_n은 비슷한 값을 가지고, 또한 S와도 근사하게 된다.
함수 f(x)가 주어질 때, 극한의 개념을 활용한 미분을 통해 df/dx(x에 대한 f(x)의 미분)를 구할 수 있다. 마찬가지로 함수의 미분이 주어질 때도 f(x)를 구할 수 있는데, 이는 적분(integration)이라는 과정을 통해 가능하다. 넓이 문제는 이 과정을 응용한 것이라 할 수 있다.